Part 9

-----------------------------------------------------------------------------

1/2 ln(1/2 + 1/2 5 ) and here is 2000 digits of it

.48121182505960344749775891342436842313518433438566051966101816884016386760822 177441200942912272347499723183995829365641127256832372673762275305924186440975 418241700721183715022382393746918727524327919301879707900356172679694454575230 534543418876528553256490207399693496618755630102123996367930820635997798850998 015682579785264932866665111624171380827259278847902609653311324722751493140649 850889321763660025666619532106796817576618473073515986039848457545412056323413 570047800639487224315261789680045093639052503490478543352197865370437193903357 677241670370417641767978031965232099656758795421613175997885741759883069252399 717590046453960557551254692968807903367049621356294492555120383931774697654826 977541909002148287591795010410315009172040285181976301883343507599305507581267 421313032934991077388766751780351352387576508756665097521115192509805325161772 335414969051191031376000829815753239644609931361117839554965237333780624451158 972538538125625324467105392756233692811966537796197589176667110958463736359845 597437135943592053489075726261345821454327659167799080629243972731468565536314 092311391895063108539696637577527511079577705177124842749437409823450126791364 958219681888381115601710967123335538333939270275009967204943917336889395799674 130763597728326095101756364120387680017229574545727080162869726194293372934966 548187257084227073667108151143278740184115332931445134747747519570047997464676 573641483610494903280902249776225702986230973608580845275935793406227236160751 971088461984502310559538051316421863947239859494645234070234046955383565216388 882407729962183950603296536936010628310600983980249842603128194607404195468678 698754289980250108751726295370872829184831419012990151954975813462049581615570 765362754084555825696012212173496741080404051978451915071512814910182254675129 624858581222722255988561112107929352729069072128826890998825768857977503070665 560540491091499109395002416249253602970873298576618011862110489015088164984777 470696739474116453343444463404706900064984082377102

-----------------------------------------------------------------------------

log(Pi) natural logarithm of Pi to 2000 places.

1.1447298858494001741434273513530587116472948129153115715136230714721377698848 260797836232702754897077020098122286979891590482055279234565872790810788102868 252763939142663459029024847733588699377892031196308247567940119160282172273798 881265631780498236973133106950036000644054872638802232700964335049595118150662 372524683433912698965797514047770385779953998258425660228485014813621791592525 056707638686028076345688975051233436078143991414426429596712897781136526452345 041059007160818570824981188183186897672845928110257656875172422338337189273043 288217348651042761532375161028392221340143696717585616442473718780506046692056 283377310133621627451589875201512996545465739691528252391695852453793594601400 379956519666036538000112659858500129765699060744667455472671045084950668558743 390774251341592412652317771784917799588095767880510296444750901508911403278080 768337337938949488075152890091875363766086707435833345108139232535574067684327 431198049633999761803046221286361595859836404758009861799938264629277646275948 484896414107483132593462053635073046055030768215494444154778884559535228440047 850918217255915179900785243523837112867132342905566964492585582623118824223244 661476739136153339414264534600881979155478967757529878307593230499751706785370 666315222134751026417324918906534257373051835228316776877311442944368108997522 287634554909933469253981028398378467695079971965163008386496663274223886761392 944112379606529081463545502415193643368404005225615575618053680459613160686367 226297126848055518038239624057983138433955882483556816617339018195508924667782 042898879384623081953507082523699065543916029676565349509487102686726405036344 889957813954840804697878603723560031033518890166410542245140400821480026071893 924502077785635698810693233664357379481092927781936265980614204270094398298364 733767922501305495445975380037647617519082652294857728828349379913418698964043 483457091550460629912859614271432256377699794328889523074041463529466113313641 884192574888189320796571991444939402534883228262813

-----------------------------------------------------------------------------

The Madelung constant (in absolute value).

(for the NaCl)

References :

Richard E. Crandall, Topics in Advanced Scientific Computation, Springer , Telos books, 1996. pages 73-79.

Andre Hautot, New applications of Poisson's summation formula, J of Phys, A vol. 8 #6, 1975 pp 853-862.

David H. Bailey, personal communication,

1.7475645946331821906362120355443974034851614366247417581528 253507650406235327611798907583626946078899308325815387537105932820299441838280 130369330021565993632823766071722975686592380371672038104106034214556064382777 786832173132243697558773426250474787821285086056791668167573992447684129703678 251857628109371313372076707193197424971581157230969923096692739496577811072226 715205474090115068915716583082820050184892117803134673122964985828828184357133 159143170054956325334887536302670425627486948438002800259270026847557436497550 492246136239920400157506303972146648111512373640102950660119390467194373312530 445102911514639759331918047977946099333746429426562908969344779296885419044079 142558327219971840906746802376153893544565503602730285440849344302806267044182 412004397418676617724475639534442306853849527943580751895490309305073843954464 206438717926390780392074428209795791773699230408221437464566804310569266319755 045922443248074894080624749361070936309149224368986933140903796823240790046284 487394

-----------------------------------------------------------------------------

The gamma function has a minumum at this point.

1.461632144968362341262659542325721328468196204006446351295988409

is the solution of the equation : Psi(x)*GAMMA(x)=0

the point y of that function is

0.8856031944108887002788159005825887332079515336699034488712001659

-----------------------------------------------------------------------------

Minimal y of GAMMA(x),

The gamma function has a minumum at this point.

1.461632144968362341262659542325721328468196204006446351295988409

is the solution of the exquation : Psi(x)*GAMMA(x)=0

the point y of that function is

0.8856031944108887002788159005825887332079515336699034488712001659

-----------------------------------------------------------------------------