Part 16

Thanks for running this!

Best regards,

Mike Mossinghoff mjm@math.appstate.edu

1.2962106595933092168517831791253754042307237363926176836463419715400357507663\ 555372700460810162259842255138960885075885472138523375229647035948031308222869\ 213377761985420998401465270339786283142588526265385851765349326219909024384324\ 298668143261669279113959085262729367911041451897621484638159134108808507417558\ 371227480609429111967509190900525542468572422201267290352457473788303514632978\ 531591219560940258062757424400763572149784569551257493407108061275808255266204\ 988526404732083078237046586577078037338486088388181584983281574252897177808263\ 147692481736785688370028996889741999268557158363474402864561998038209817582814\ 010732290535268946721928114002527443568020359790313185377702725896115435126307\ 841519785171242185997657977732689357703555840184684554577244752237497568339160\ 938205575175811976414747122955198011255949965359970687280700475477368518212756\ 924749820065045209604606889253335548989681523027453599219856774850675170030081\ 340461412329460883636590018878175768282781839837697211776636498168350816554156\ 904601023147786817236407289883278093415918634119620218433047846657184261144649\ 040715513536648841284787099601551612909626813632800691067564404454541790010887\ 679088108728482285977923782153457884089162309486388513634809308430291906873755\ 353865787785568433558148544650806363798445573460997103012214477139122206697676\ 151378710063572151250547043624062114013563819037462333697027524356258777528864\ 271328965733484293667236211401267719087175146826163754038706366216877272628132\ 296182344392845125506127123945469182368918766036231606918375224969603018840277\ 778903237698826183111400261578682603995590568903906955569848314084496482503972\ 906016618276547328327517227379822958377122743985938689837061722495995392321936\ 345285971817821600170724492417762482659737742843585759061520292400466743607983\ 593438732628413114256276767063139352552076489085606199932942061150333621663624\ 667294211959583161911171198313494502505440901133068426838051637173543721800267\ 607050254597479936347302850855318828765200608121163125879643065717811879123723\ 939826702878343201235748915166745912187493987556824139288848294746007488299743\ 663817162198495190194616103659925459932420514340386336983265209362290719538034\ 616103846861918706369114431911997889483119661422295458652413962075819025018423\ 406629086461013112957825351840936858715307617702746177132615020866202346765384\ 189199689332174745118809280247719860161398327812075021357273956644275172873038\ 687900608249173662145494837168975704911668609774430992557238265593517876057742\ 2513

-------------------------------------------------------------

Reference Philippe Flajolet and Andrew Odlyzko in Random Mapping Statistics you can have the article at ftp://netlib.att.com/netlib/att/math/odlyzko/index.html 1 - ln(1 - 1/E)

> evalf(",1024);

1.4586751453870818910216436450673297018769779066921941448349981657928142090774\ 201612200442809516952542077265289812147224950456505217508488257192318776903978\ 283958471454981649855439295026537053597338520354935148025543820985296873219986\ 302608076828991375664708977028227357407155020168390466081440332929613402809962\ 987761600422067245386552208829277426092542078462258992350164685882837621214882\ 780180315165656808973787662538495808236640442271087689278355793100958663124347\ 608912549488795731777070799343730722066801620056545869945636645492898791927486\ 575158188313946857834776772734408679626984363705284330037652725380287794676349\ 373789251316549424606319247455867160631085208147788915528328222030175460874293\ 072958579419651653681072447431245769874928136318703222181432813223236987618651\ 560035148342838332185451812183617068075562954967559891795834498316055598164437\ 208325189384466039982301475617199617179127040273935951240040637361969048372804\ 683416371677229307327020903657448359390542480371335759362920019292630614667717\ 96831954446

1 + exp(-1) ----------- exp(-1) - 1

-2.163953413738652848770004010218023117093738602150792272533574120

-----------------------------------------------------------------------------

The Hard hexagons Entropy Constant

The hard-hexagons entropy constant is algebraic (see below z number).

The value is :

1.3954859724793027352295006635668880689541037281446611908174721561357608803586 977746898378730852754279026689685607685657184842212457119511639349818266947083 252547173794947534862281229126187281554340126162747356973585709823756812898414 948800016934903723995652094568253572538633572005211925074739811015138086289661 268136787831885630404682747107477204686894756657580905530270066675404962427719 060854536142216836296933016900330937276956621269398726823104923047442882514781 702966107270054292812280795061336321550953581179745072336957434963259935073449 490894249329307540816210555328068610619705545037955077580725537613858033619505 210958967729699416630942601615566925218549336476968551824281894615092855649748 501359906929152571833851080212811049755339847366927914398892041851355831303575 673710465224807454744982583885183287167357146092090743402851746571565499082292 999884612996137479952358336507860770516087879631202738350102895965881076822440 14681214726789035888008851819053742866660552775722734105313225337

Taken from The Favorite mathematical constants of Steven Finch, Mathsoft Inc.

The constant is given by this (see z below)...

124 1/3 a := - --- 11 363

2501 1/2 b := ----- 33 11979

/ 31 1/3 // 2501 1/2 \1/3 / 2501 1/2 \1/3\\1/3 c := |1/4 - --- 11 ||----- 33 + 1| - |----- 33 - 1| || \ 242 \\11979 / \11979 / //

1/4 7/12 3 11 z1 := 3/44 ------------------------------------------------------------------ / 31 1/3 // 2501 1/2 \1/3 / 2501 1/2 \1/3\\2/3 |1/4 - --- 11 ||----- 33 + 1| - |----- 33 - 1| || \ 242 \\11979 / \11979 / //

1/3 1/2 1/3 1/3 2/3 1/2 1/2 2 z2 := (1 - (1 - %1 ) + (2 + %1 + 2 (1 + %1 + %1 ) ) )

31 1/3 // 2501 1/2 \1/3 / 2501 1/2 \1/3\ %1 := 1/4 - --- 11 ||----- 33 + 1| - |----- 33 - 1| | 242 \\11979 / \11979 / /

1/3 1/2 1/3 1/3 2/3 1/2 1/2 2 z3 := (- 1 - (1 - %1 ) + (2 + %1 + 2 (1 + %1 + %1 ) ) )

31 1/3 // 2501 1/2 \1/3 / 2501 1/2 \1/3\ %1 := 1/4 - --- 11 ||----- 33 + 1| - |----- 33 - 1| | 242 \\11979 / \11979 / /

1/3 1/2 z4 := 1/(1/33 (1089 + 372 11 )

/ 124 1/3 / 124 1/3 15376 2/3\1/2\1/2 + |2 - --- 11 + 2 |1 - --- 11 + ------ 11 | | )^1/2 \ 363 \ 363 131769 / /

1/4 7/12 z := 3/44 3 11